「ABC409G」Accumulation of Wealth

发表于 2025-09-19 分类于 AtCoder 本文字数： 2.8k 阅读时长 ≈ 10 分钟

Description

Link：ABC409G

给出一个正整数 $n$ 和一个整数 $P \in [0, 100]$ ，记 $p = \frac{P}{100}$ 。

有一个正整数序列 $a$ 。初始时， $a$ 的长度为 $1$ ，且 $a_1 = 1$ 。

接下来会对 $a$ 进行操作 $n - 1$ 次。每次操作，有 $p$ 的概率执行操作 1，有 $1 - p$ 的概率执行操作 2。记 $m$ 是不出现在 $a$ 中的最小正整数。

操作 1：将 $m$ 添加到序列 $a$ 的末尾。
操作 2：记 $c_1, \cdots, c_{m - 1}$ 分别表示 $1, \cdots, m - 1$ 在 $a$ 中的出现次数。在 $1, \cdots, m - 1$ 中按照与 $c_k$ 成正比的概率选择一个数 $k$ （即概率为 $c_k / \sum_{j = 1}^{m - 1} c_j$ ）。然后将 $k$ 添加到序列 $a$ 的末尾。

请你求出 $1, \cdots, n$ 在操作结束后在 $a$ 中的期望出现次数。答案对 $998244353$ 取模。

Solution

考虑一个数 $x$ 的出现次数。大致的考虑方式是，先通过若干次操作生成出第一个 $x$ ，然后再考虑后续的操作会再次生成出几个 $x$ 。

枚举第一个 $x$ 是在序列的位置 $i$ 处生成的，概率是类似二项分布的 $p\binom{i - 2}{x - 2}p^{x - 2}q^{i - x}$ 。

设 $f_j$ 表示从位置 $i$ 生成出第一个 $x$ 之后，继续操作到位置 $j$ 时 $x$ 的期望个数。每时每刻，我们只关心当前序列 $x$ 的个数 $c_x$ 。若第 $i$ 次操作为操作 2，生成出 $x$ 的概率显然为 $\frac{c_x}{i - 1}$ ，则有递推式 $f_j = f_{j - 1} + q \cdot \frac{f_{j - 1}}{j - 1}$ ，即 $f_j = f_{j - 1} \cdot \left({\color{brown} 1 + \frac{q}{j - 1}} \right)$ 。最终 $x$ 的期望个数即为 $f_n$ 。

于是从位置 $i$ 处生成了第一个 $x$ 之后，到最终 $x$ 的期望个数即为 $e_i = \prod_{j = i}^{n - 1} ({\color{brown} 1 + \frac{q}{j}})$ 。也可以通过递推 $e_i = e_{i + 1} \cdot ({\color{brown} 1 + \frac{q}{i}})$ 得出。

于是可以列出式子

\begin{aligned} & \sum\limits_{i = 1}^n p\binom{i - 2}{x - 2}p^{x - 2}q^{i - x} e_i \\ = & \sum\limits_{i = 1}^n p \frac{(i - 2)!}{(i - x)! (x - 2)!} p^{x - 2}q^{i - x}e_i \\ = & \sum\limits_{i = 1}^n p \cdot {\color{red} (i - 2)!e_i} \cdot {\color{blue} \frac{q^{i - x}}{(i - x)!}} \cdot \frac{p^{x - 2}}{(x - 2)!} \end{aligned}

注意到该式子的黑色部分与 $i$ 无关，红色部分对蓝色部分下标之差恒为 $x$ ，于是可以使用“翻转卷积”的技巧求出关于每个 $x$ 的求和式。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n \log n)$ 。

#include <bits/stdc++.h>

#define debug(a) std::cout << #a << "=" << (a) << ' '

using s64 = long long;
using u64 = unsigned long long;

/* 取 min */
template <class T>
inline void chmin(T &x, const T &y) {
    if (x > y) {
        x = y;
    }
}
/* 取 max */
template <class T>
inline void chmax(T &x, const T &y) {
    if (x < y) {
        x = y;
    }
}

/* ----- ----- ----- 正文 ----- ----- ----- */

const int mod = 998244353; // 模数需根据实际问题调整

/* 模意义下 加法 */
inline void add(int &x, const int &y) {
    x += y;
    if (x >= mod) {
        x -= mod;
    }
}

/* 模意义下 减法 */
inline void dec(int &x, const int &y) {
    x -= y;
    if (x < 0) {
        x += mod;
    }
}

/* 模意义下 乘法 */
inline void mul(int &x, const int &y) {
    x = 1ll * x * y % mod;
}

/* 快速幂 */
int qpow(int a, int b, int p) {
    int ans = 1;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1) ans = 1ll * ans * a % p;
        a = 1ll * a * a % p;
    }
    return ans;
}

std::vector<int> rev;
void dft(std::vector<int> &a) {
    int n = a.size();
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        if (i < rev[i]) {
            std::swap(a[i], a[rev[i]]);
        }
    }
    int g = 3;
    for (int k = 1; k < n; k <<= 1) {
        int omega = qpow(g, (mod - 1) / (k << 1), mod); // 2k 阶单位根
        for (int i = 0; i < n; i += (k << 1)) {
            int x = 1;
            for (int j = 0; j < k; j ++, mul(x, omega)) {
                int u = a[i + j], v = 1ll * x * a[i + j + k] % mod;
                add(a[i + j] = u, v), dec(a[i + j + k] = u, v);
            }
        }
    }
}

void idft(std::vector<int> &a) {
    int n = a.size(), inv = qpow(n, mod - 2, mod);
    std::reverse(a.begin() + 1, a.end());
    dft(a);
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        mul(a[i], inv);
    }
}

/*
    多项式全家桶（2025.09.19）
    C++23 以上：请放心使用
    C++11 ~ C++20：请删去所有的 constexpr（直接 #define constexpr 即可）
*/
struct poly : public std::vector<int> {
    poly() : std::vector<int>() {}
    explicit constexpr poly(int n) : std::vector<int>(n) {}
    explicit constexpr poly(const std::vector<int> &a) : std::vector<int>(a) {}
    constexpr poly(const std::initializer_list<int> &a) : std::vector<int>(a) {}

    template <class InputIt, class = std::_RequireInputIter<InputIt>>
    explicit constexpr poly(InputIt st, InputIt ed) : std::vector<int>(st, ed) {}

    // 多项式乘法
    constexpr friend poly operator * (poly a, poly b) {
        int tot = a.size() + b.size() - 1;
        if (tot < 128) {
            poly c(tot);
            for (int i = 0; i < a.size(); i ++) {
                for (int j = 0; j < b.size(); j ++) {
                    c[i + j] = (c[i + j] + 1ll * a[i] * b[j]) % mod;
                }
            }
            return c;
        }

        int L = 1, P = 0;
        while (L < tot) L <<= 1, P ++;
        rev.resize(L);
        for (int i = 0; i < L; i ++) {
            rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (P - 1));
        }

        a.resize(L), b.resize(L);
        dft(a), dft(b);
        for (int i = 0; i < L; i ++) {
            mul(a[i], b[i]);
        }
        idft(a);
        a.resize(tot);
        return a;
    }

    // 多项式乘法（暴力）
    constexpr friend poly mul_bf(poly a, poly b) {
        poly c(a.size() + b.size() - 1);
        for (int i = 0; i < a.size(); i ++) {
            for (int j = 0; j < b.size(); j ++) {
                c[i + j] = (c[i + j] + 1ll * a[i] * b[j]) % mod;
            }
        }
        return c;
    }
    // 多项式除法（暴力）
    constexpr friend poly div_bf(poly a, poly b) {
        int m = b.size() - 1, inv = qpow(b[0], mod - 2, mod);
        poly c(a.size() - b.size() + 1);
        for (int i = 0; i < c.size(); i ++) {
            c[i] = a[i];
            for (int j = std::max(0, i - m); j < i; j ++) {
                dec(c[i], 1ll * c[j] * b[i - j] % mod);
            }
            mul(c[i], inv);
        }
        return c;
    }

    constexpr friend poly operator + (poly a, poly b) {
        poly c(std::max(a.size(), b.size()));
        for (int i = 0; i < a.size(); i ++) {
            add(c[i], a[i]);
        }
        for (int i = 0; i < b.size(); i ++) {
            add(c[i], b[i]);
        }
        return c;
    }
    constexpr friend poly operator - (poly a, poly b) {
        poly c(std::max(a.size(), b.size()));
        for (int i = 0; i < a.size(); i ++) {
            add(c[i], a[i]);
        }
        for (int i = 0; i < b.size(); i ++) {
            dec(c[i], b[i]);
        }
        return c;
    }
    constexpr friend poly operator - (poly a) {
        for (int &x : a) {
            x = x ? mod - x : 0;
        }
        return a;
    }

    constexpr friend poly operator * (poly a, int b) {
        for (int &x : a) {
            mul(x, b);
        }
        return a;
    }
    constexpr friend poly operator / (poly a, int b) {
        int inv = qpow(b, mod - 2, mod);
        for (int &x : a) {
            mul(x, inv);
        }
        return a;
    }

    constexpr poly &operator += (poly b) {
        return (*this) = (*this) + b;
    }
    constexpr poly &operator -= (poly b) {
        return (*this) = (*this) - b;
    }
    constexpr poly &operator *= (poly b) {
        return (*this) = (*this) * b;
    }
    constexpr poly &operator *= (int b) {
        return (*this) = (*this) * b;
    }
    constexpr poly &operator /= (int b) {
        return (*this) = (*this) / b;
    }

    constexpr poly mulxk(int k) const {
        auto res = *this;
        res.insert(res.begin(), k, 0);
        return res;
    }
    constexpr poly divxk(int k) const {
        if (k >= size()) return poly();
        return poly((*this).begin() + k, (*this).end());
    }
    constexpr poly modxk(int k) const {
        if (k >= size()) return *this;
        return poly((*this).begin(), (*this).begin() + k);
    }

    constexpr poly flip() const {
        auto res = *this;
        std::reverse(res.begin(), res.end());
        return res;
    }

    constexpr poly mulT(poly b) const {
        if (b.size() == 0) return poly();
        std::reverse(b.begin(), b.end());
        return ((*this) * b).divxk(b.size() - 1);
        // 等价于“翻转卷积”，a.mulT(b) 相当于是求 a[i] * b[j] -> c[i - j]
    }

    // 多项式导数
    constexpr poly deriv() const {
        if (empty()) return poly();
        poly res(size() - 1);
        for (int i = 1; i < size(); i ++) {
            res[i - 1] = 1ll * (*this)[i] * i % mod;
        }
        return res;
    }

    // 多项式积分
    constexpr poly integ() const {
        poly res(size() + 1);
        for (int i = 0; i < size(); i ++) {
            res[i + 1] = 1ll * (*this)[i] * qpow(i + 1, mod - 2, mod) % mod;
        }
        return res;
    }

    // 多项式求逆
    constexpr poly inv(int m) const {
        poly x{qpow((*this)[0], mod - 2, mod)};
        int k = 1;
        while (k < m) {
            k <<= 1;
            x = (x * (poly{2} - modxk(k) * x)).modxk(k);
        }
        return x.modxk(m);
    }
    // 少项式求逆
    constexpr poly inv_bf(int m) const {
        int n = size() - 1, inv = qpow((*this)[0], mod - 2, mod);
        poly b(m);
        for (int i = 0; i < m; i ++) {
            b[i] = i == 0;
            for (int j = std::max(0, i - n); j < i; j ++) {
                dec(b[i], 1ll * b[j] * (*this)[i - j] % mod);
            }
            mul(b[i], inv);
        }
        return b;
    }

    // 多项式开方
    constexpr poly sqrt(int m) const {
        poly x{1}; // 默认常数项为 1
        int k = 1;
        while (k < m) {
            k <<= 1;
            x = (x + (modxk(k) * x.inv(k)).modxk(k)) / 2;
        }
        return x.modxk(m);
    }

    // 多项式带余除法
    constexpr friend std::pair<poly, poly> divmod(poly a, poly b) {
        int n = a.size(), m = b.size(), L = n - m + 1;
        if (n < m) return {poly{0}, a};
        poly q = (a.flip().modxk(L) * b.flip().inv(L)).modxk(L).flip();
        poly r = a - b * q; while (r.size() && !r.back()) r.pop_back();
        return {q, r};
    }

    // 多项式 ln
    constexpr poly ln(int m) const { // 需要保证常数项为 1
        return (deriv() * inv(m)).integ().modxk(m);
    }

    // 多项式 exp
    constexpr poly exp(int m) const { // 需要保证常数项为 0
        poly x{1};
        int k = 1;
        while (k < m) {
            k <<= 1;
            x = (x * (poly{1} - x.ln(k) + modxk(k))).modxk(k);
        }
        return x.modxk(m);
    }

    // 多项式快速幂
    constexpr poly pow(int k, int m) const {
        int i = 0;
        while (i < size() && (*this)[i] == 0) {
            i ++;
        }
        if (i == size() || 1ll * i * k >= m) {
            return poly(m);
        }
        int v = (*this)[i];
        poly f = divxk(i) * qpow(v, mod - 2, mod);
        return (f.ln(m - i * k) * k).exp(m - i * k).mulxk(i * k) * qpow(v, k, mod);
        /*
            当实际 k < mod 时，可以放心使用
            当实际 k >= mod 时，注意：
            - 当 i > 0 时（即常数项为 0），直接返回长度为 m 的全 0 多项式
            - 当 i = 0 时
              - 在多项式 ln 与多项式 exp 部分，k 需要对 mod 取模
              - 在 qpow(v, k, mod) 部分，k 需要对 mod - 1 取模
        */
    }
    // 少项式快速幂
    constexpr poly pow_bf(int k, int m) const {
        std::vector<int> v(m);
        v[1] = 1;
        for (int i = 2; i < m; i ++) {
            v[i] = 1ll * v[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
        }

        int n = size() - 1, inv = qpow((*this)[0], mod - 2, mod);
        poly b(m);
        b[0] = qpow((*this)[0], k, mod);
        for (int i = 0; i + 1 < m; i ++) {
            b[i + 1] = 0;
            for (int j = std::max(0, i - n + 1); j <= i; j ++) {
                add(b[i + 1], 1ll * (i - j + 1) * (*this)[i - j + 1] % mod * b[j] % mod);
            }
            mul(b[i + 1], k);
            for (int j = std::max(0, i - n); j < i; j ++) {
                dec(b[i + 1], 1ll * (j + 1) * b[j + 1] % mod * (*this)[i - j] % mod);
            }
            mul(b[i + 1], v[i + 1]), mul(b[i + 1], inv);
        }
        return b;
    }

    // 多项式多点求值
    constexpr std::vector<int> eval(std::vector<int> x) const {
        if (size() == 0) {
            return std::vector<int>(x.size(), 0);
        }

        int n = std::max(x.size(), this->size());
        std::vector<poly> t(n * 4);
        std::vector<int> ans(x.size());
        x.resize(n);

        std::function<void(int, int, int)> build = [&] (int p, int l, int r) {
            if (l == r) {
                int v = x[l];
                t[p] = poly{1, v ? mod - v : 0};
                return;
            }
            int mid = (l + r) >> 1;
            build(p * 2, l, mid), build(p * 2 + 1, mid + 1, r);
            t[p] = t[p * 2] * t[p * 2 + 1];
        };
        build(1, 0, n - 1);

        std::function<void(int, int, int, const poly &)> solve = [&] (int p, int l, int r, const poly &num) {
            if (l >= ans.size()) return;
            if (l == r) {
                ans[l] = num[0];
                return;
            }
            int mid = (l + r) >> 1;
            solve(p * 2, l, mid, num.mulT(t[p * 2 + 1]).modxk(mid - l + 1));
            solve(p * 2 + 1, mid + 1, r, num.mulT(t[p * 2]).modxk(r - mid));
        };
        solve(1, 0, n - 1, mulT(t[1].inv(n)));

        return ans;
    }
};

// 多项式快速插值
constexpr poly lagrange(std::vector< std::pair<int, int> > seq) {
    int n = seq.size();
    std::vector<poly> t(n * 4);
    std::vector<int> x(n);
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        x[i] = seq[i].first;
    }

    std::function<void(int, int, int)> build = [&] (int p, int l, int r) {
        if (l == r) {
            int v = x[l];
            t[p] = poly{v ? mod - v : 0, 1};
            return;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        build(p * 2, l, mid), build(p * 2 + 1, mid + 1, r);
        t[p] = t[p * 2] * t[p * 2 + 1];
    };
    build(1, 0, n - 1);

    auto res = (t[1].deriv()).eval(x);
    std::function<poly(int, int, int)> solve = [&] (int p, int l, int r) {
        if (l == r) {
            int v = 1ll * seq[l].second * qpow(res[l], mod - 2, mod) % mod;
            return poly{v};
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        return solve(p * 2, l, mid) * t[p * 2 + 1] + solve(p * 2 + 1, mid + 1, r) * t[p * 2];
    };
    return solve(1, 0, n - 1);
}

struct BinomCoef {
    std::vector<int> fact, facv;

    void init(const int &n) {
        fact.resize(n + 1), facv.resize(n + 1);
        
        fact[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            fact[i] = 1ll * fact[i - 1] * i % mod;
        }

        facv[n] = qpow(fact[n], mod - 2, mod);
        for (int i = n - 1; i >= 0; i --) {
            facv[i] = 1ll * facv[i + 1] * (i + 1) % mod;
        }
    }

    int binom(int n, int m) {
        if (n < m || m < 0) {
            return 0;
        }
        return 1ll * facv[m] * facv[n - m] % mod * fact[n] % mod;
    }
} bc;

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0);
    std::cin.tie(0);

    int n, P;
    std::cin >> n >> P;

    if (P == 100) {
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            std::cout << 1 << '\n';
        }
        return 0;
    }
    if (P == 0) {
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            std::cout << (i == 1 ? n : 0) << '\n';
        }
        return 0;
    }

    int p, q;
    p = 1ll * P * qpow(100, mod - 2, mod) % mod;
    q = (mod + 1 - p) % mod;

    bc.init(n);

    std::vector<int> e(n + 1);
    e[n] = 1;
    for (int i = n - 1; i >= 1; i --) {
        e[i] = 1ll * e[i + 1] * (1 + 1ll * q * qpow(i, mod - 2, mod) % mod) % mod;
    }

    poly a(n + 1);
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        a[i] = 1ll * bc.fact[i - 2] * e[i] % mod;
    }

    poly b(n + 1);
    for (int i = 0, w = 1; i <= n; i ++) {
        b[i] = 1ll * bc.facv[i] * w % mod;
        mul(w, q);
    }

    poly res = a.mulT(b);

    std::vector<int> ans(n + 1);
    ans[1] = e[1];
    for (int x = 2, w = 1; x <= n; x ++) {
        ans[x] = 1ll * w * bc.facv[x - 2] % mod * res[x] % mod * p % mod;
        mul(w, p);
    }

    for (int x = 1; x <= n; x ++) {
        std::cout << ans[x] << '\n';
    }

    return 0;
}

/**
 *  心中无女人
 *  比赛自然神
 *  模板第一页
 *  忘掉心上人
**/